Question

【題目】在四邊形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD的中點，連接AE，AF.

（1）如圖1，若四邊形ABCD的面積為5，則四邊形AECF的面積為____________；

（2）如圖2，延長AE至G，使EG=AE，延長AF至H，使FH=AF，連接BG、GH、HD、DB.

求證：四邊形BGHD是平行四邊形；

（3）如圖3，對角線 AC、BD相交于點M， AE與BD交于點P， AF與BD交于點N. 直接寫出BP、PM、MN、ND的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）.

【解析】

（1）連接AC，根據三角形中線把三角形分成兩個面積相等的三角形進行解答即可得；

（2）連接EF，根據三角形中位線定理可得到BD與GH平行且相等，由此即可得證；

（3）如圖，延長PE至點Q，使EQ=EP，連接CQ，延長NF至點O，使OF=NG，連接CO，通過證明△BPE≌△CQE可得BP=CQ，BP//CQ，同理：CO=ND，CO//ND，從而可得Q、C、O三點共線，繼而通過證明△APM∽△AQC，可得PM：CQ=AM：AC，同理：MN：CO=AM：AC，即可得答案.

（1）如圖，連接AC，則有S△ABC+S△ACD= S四邊形ABCD=5，

∵E、F分別為BC、CD中點，

∴S△AEC=S△ABC，S△AFC=S△ADC，

∴S四邊形AECF=S△AEC+S△AFC=S△ABC+S△ADC= S四邊形ABCD=，

故答案為：；

（2）如圖，連接EF，

∵E、F分別是BC，CD的中點，

∴EF∥BD，EF=BD.，

∵EG=AE，FH=AF，

∴EF∥GH，EF=GH.，

∴BD∥GH，BD=GH.，

∴四邊形BGHD是平行四邊形；

（3）如圖，延長PE至點Q，使EQ=EP，連接CQ，

延長NF至點O，使OF=NG，連接CO，

在△BPE和△CQE中

，

∴△BPE≌△CQE（SAS），

∴BP=CQ，∠PBE=∠QCE，

∴BP//CQ，

同理：CO=ND，CO//ND，

∴Q、C、O三點共線，

∴BD//OQ，

∴△APM∽△AQC，

∴PM：CQ=AM：AC，

同理：MN：CO=AM：AC，

∴.