Question

如圖，已知點P是邊長為5的正方形ABCD內的一點，連結PA，PB，PC，若PA=2，PB=4，∠APB=135°．
（1）將△PAB繞點B順時針旋轉90°，畫出△P′CB的位置．
（2）①求PC的長；
②求△PAB旋轉到△P′CB的過程中邊PA所掃過區域的面積．

Answer 1

分析：（1）利用旋轉的性質得出對應點P′的位置進而得出即可；
（2）①利用旋轉的性質得出，∠PP′C=90°，利用勾股定理得出PC的長；
②根據PA所掃過區域的面積為：S_扇形ABC+S_△BCP′-S_扇形PBP′-S_△ABP，進而得出即可．

解答：解：（1）如圖所示：△P′CB即為所求；

（2）①連接PP′，
∵將△PAB繞點B順時針旋轉90°，
∴PB=P′B=4，A，P，P′在一條直線上，∠PP′C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，
∵∠APB=135°，
∴∠BPP′=45°，
∴△PBP′是等腰直角三角形，
∴PP′=4

2

，
∵P′C=PC=2，
∴PC=

(4 2 )2+22

=6；

②△PAB旋轉到△P′CB的過程中邊PA所掃過區域的面積為：
S_扇形ABC+S_△BCP′-S_扇形PBP′-S_△ABP=S_扇形ABC-S_扇形PBP′=

90π(52-42)

360

=

9

4

π．

點評：此題主要考查了旋轉的性質以及旋轉圖形的畫法和扇形面積公式等知識，根據題意得出旋轉后圖形的形狀是解題關鍵．