Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A（﹣4，0）、B（﹣l，0）兩點，與y軸交于點C，點D是第三象限的拋物線上一動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點D的橫坐標為m，△ACD的面積為量求出S與m的函數關系式，并確定m為何值時S有最大值，最大值是多少？

（3）若點P是拋物線對稱軸上一點，是否存在點P使得∠APC=90°？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x+3；（2）m為﹣2時S有最大值，最大值是6（3）P的坐標為（﹣， ）或（﹣， ）

【解析】試題分析：(1)、將點A和點B的坐標代入解析式，利用待定系數法求出函數解析式；(2)、首先求出點C的坐標，然后利用待定系數法求出直線AC的函數解析式，過點D D作DE∥y軸，交AC于點E，設出點D和點E的坐標，然后求出DE的長度，根據面積的計算公式得出面積的二次函數解析式，從而得出面積的最大值；(3)、以AC為直徑作圓交拋物線的對稱軸于P，根據點A 和點C的坐標得出中點的坐標，求出AC和OP的長度，設點P的坐標為（，y），然后根據勾股定理求出y的值，得出點P的坐標．

試題解析：(1)、將A（﹣4，0）、B（﹣l，0）代入y=ax2+bx+3得：，

解得， 故拋物線的函數解析式為y=x2+x+3；

(2)、令x=0，則y=3， ∴C（0，3），

設直線AC的解析式為y=mx+n， 代入A（﹣4，0）、C（0，3）得， 解得

∴AC的解析式為y=x+3；

過D作DE∥y軸，交AC于點E，設D（m， m2+m+3），E（m， m+3）（﹣4＜m＜﹣1）， 則DE=m+3﹣（m2+m+3）， ∴DE=﹣m2﹣3m，

∴S=DE×4=2（﹣m2﹣3m）=﹣m2﹣6m=﹣（m+2）2+6，

∴m=﹣2時，S最大=6； 故m為﹣2時S有最大值，最大值是6．

(3)、存在點P使得∠APC=90°， 以AC為直徑作圓交拋物線的對稱軸于P，

∵A（﹣4，0）、C（0，3）， ∴AC的中點O的坐標為（﹣2，），AC==5，

∴OP==， ∵拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A（﹣4，0）、B（﹣l，0）兩點，

∴對稱軸x==﹣， 設P（﹣，y）， ∴OP2=（）2，

即（﹣2+）2+（﹣y）2=（）2， 解得y=±，

∴P的坐標為（﹣，）或（﹣，）．