Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N，其頂點為D．

（1）求拋物線及直線AC的函數關系式；

（2）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，設點P的橫坐標為t；

①當S△ACP＝S△ACN時，求點P的坐標；

②是否存在點P，使得△ACP是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EF∥BD交拋物線于點F，以B，D，E，F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，請直接寫出點E的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3，直線AC解析式為y＝x+1；（2）①P（1，4），②P（，）；（3）點E的坐標為：（0，1）或（，）或（，）

【解析】

（1）設直線AC的解析式為y=mx+n，根據二次函數和一次函數圖象上點的坐標特征，利用待定系數法求出b、c，m、n的值，即可得答案；（2）①根據二次函數解析式可得N點坐標，過點N作NP//AC，根據平行線間的距離相等可得S△ACP＝S△CAN，設直線NP的解析式為y=kx+a，由NP//AC可得k=1，把N點坐標代入可得a=3，可得直線NP的解析式，聯立直線NP與二次函數解析式即可得P點坐標；②過P作PS⊥x軸于S，過C作CK⊥PS于K，則∠CKP＝∠PSA＝90°，根據點A、C、P、的坐標可用t表示出CK、PK、PS和AS的長，根據直角三角形兩銳角的互余關系可得∠APS＝∠PCK，即可證明△APS∽△PCK，根據相似三角形的性質列方程求出t值即可；（3）把二次函數解析式配方，可得頂點D的坐標，可求出BD的長，設點E（m，m+1），可用m表示點F的坐標，即可表示出EF的長，根據平行四邊形的性質可得EF=BD，列方程求出m的值即可得答案.

（1）將A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，得，

解得：，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3，

設直線AC解析式為y＝mx+n，

∵點A（-1，0）、C（2，3）在直線AC上，

∴，

解得：，

∴直線AC解析式為y＝x+1.

（2）①在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，

∴N（0，3），

∵點P的橫坐標為t，點P在拋物線y=-x2+2x+3圖象上，

∴P（t，﹣t2+2t+3），

如圖，過點P作PH//AC，

∵平行線間的距離相等，

∴S△ACP＝S△CAN，

設直線NP的解析式為y=kx+a，

∴k=1，

把N（0，3）代入得a=3，

∴直線NP的解析式為y=x+3，

聯立直線NP與拋物線解析式得，

解得：或（舍去），

∴P（1，4）.

②如圖2，過P作PS⊥x軸于S，過C作CK⊥PS于K，則∠CKP＝∠PSA＝90°，

∵P（t，﹣t2+2t+3），A（﹣1，0），C（2，3），

∴CK＝2﹣t，PK＝﹣t2+2t，PS＝﹣t2+2t+3，AS＝t﹣（﹣1）＝t+1，

∵△ACP是以AC為斜邊的直角三角形，

∴∠APS+∠CPK＝∠APC＝90°，

∵∠PCK+∠CPK＝90°，

∴∠APS＝∠PCK，

∴△APS∽△PCK，

∴＝，即＝，

解得：t＝，

∵P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，

∴﹣1＜t＜2，

∵＞2，

∴t＝，

∴﹣t2+2t+3=，

∴P（，）．

（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴頂點D（1，4），

∴B（1，2），BD＝2，

∵點E在直線AC上，AC解析式為y=x+1，

∴設點E（m，m+1），

∵B，D，E，F為頂點的四邊形為平行四邊形，

∴EF=BD，

∵EF//BD，BD為拋物線對稱軸，

∴F（m，﹣m2+2m+3），EF＝，

∴m2-m-2＝±2，解得：m1＝0，m2＝1（舍去），m3＝，m4＝，

∴，以B，D，E，F為頂點的四邊形能為平行四邊形，點E的坐標為：（0，1）或（，）或（，）．