Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點B的坐標為（3，0），直線y=kx﹣3經過B、C兩點．

（1）求k的值既拋物線的函數表達式；

（2）如果P是線段BC上一點，設△ABP、△APC的面積分別為S△ABP、S△APC，且S△ABP：S△APC=2：3，求點P的坐標；

（3）設⊙Q的半徑為1，圓心Q在拋物線上運動，則在運動過程中是否存在⊙O與坐標軸相切的情況？若存在，求出圓心Q的坐標；若不存在，請說明理由，并探究：若設⊙Q的半徑為r，圓心Q在拋物線上運動，則當r取何值時，⊙Q與兩坐標軸同時相切？

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x﹣3；（2）P點的縱坐標為（，﹣）；（3）①Q點的坐標為（﹣1，8）；

②存在⊙Q與坐標軸相切，圓心Q的坐標為（1，0），（﹣1，8），（2+，﹣1），（2﹣，﹣1）；

③當r=時，⊙Q與兩坐標軸同時相切．

【解析】

（1）根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）根據面積的比，可得PB∶PC的值，根據相似三角形的判定與性質，可得PD的長，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；

（3）根據圓與坐標軸相切，可得x或y的值，再根據自變量與函數值的對應關系，可得Q點坐標.

（1）將B點坐標代入y=kx﹣3，得3k﹣3=0，解得k=1；

直線的解析式為y=x﹣3，當x=0時，y=﹣3，即C點坐標為（0，﹣3），

將B、C點坐標代入拋物線的解析式，解得b=4，c=﹣3，

拋物線的解析式為y=﹣x2+4x﹣3；

（2）作PD⊥AB于D點，如圖：

由S△ABP：S△APC=2：3，得PB：PC=2：3，PB：BC=2：5．

由△PBD∽△COB，得=，解得DP=，

解得P點的縱坐標為﹣，當y=﹣時，x﹣3=﹣，解得x=，

得P點的縱坐標為（，﹣）；

（3）設Q（x，y），

①當⊙Q與y軸相切時，有|x|=1，即x=±1．

當x=1時，y=﹣x2+4x﹣3=0，即Q點的坐標為（1，0），

當x=﹣1時，y=﹣x2+4x﹣3=﹣8，得Q點的坐標為（﹣1，8）；

②當⊙Q與x軸相切時，有|y|=1，即y=±1．

當y=1時，1=﹣x2+4x﹣3，解得x=2，即Q點的坐標為（2，1）；

當y=﹣1時，﹣1=﹣x2+4x﹣3，解得x=2，即Q（2+，﹣1），（2﹣，﹣1），

綜上所述：存在⊙Q與坐標軸相切，圓心Q的坐標為（1，0），（﹣1，8），（2+，﹣1），（2﹣，﹣1）；

③當⊙Q與兩坐標軸同時相切時，有|x|=|y|．

當y=x時，﹣x2+4x﹣3=x，此方程無解；

當y=﹣x時，﹣x2+4x﹣3=﹣x，解得x=，當r=時，⊙Q與兩坐標軸同時相切，

綜上所述：當r=時，⊙Q與兩坐標軸同時相切．