Question

【題目】對于平面直角坐標系中的點，將它的縱坐標與橫坐標的比稱為點的“理想值”，記作．如的“理想值”．

（1）①若點在直線上，則點的“理想值”等于_______；

②如圖，，的半徑為1．若點在上，則點的“理想值”的取值范圍是_______．

（2）點在直線上，的半徑為1，點在上運動時都有，求點的橫坐標的取值范圍；

（3），是以為半徑的上任意一點，當時，畫出滿足條件的最大圓，并直接寫出相應的半徑的值．（要求畫圖位置準確，但不必尺規作圖）

Answer 1

【答案】（1）①﹣3；②；（2）；（3）

【解析】

（1）①把Q（1，a）代入y=x-4,可求出a值，根據理想值定義即可得答案；②由理想值越大，點與原點連線與軸夾角越大，可得直線與相切時理想值最大，與x中相切時，理想值最小，即可得答案；（2）根據題意，討論與軸及直線相切時，LQ 取最小值和最大值，求出點橫坐標即可；（3）根據題意將點轉化為直線，點理想值最大時點在上，分析圖形即可．

（1）①∵點在直線上，

∴，

∴點的“理想值”=-3，

故答案為：﹣3.

②當點在與軸切點時，點的“理想值”最小為0.

當點縱坐標與橫坐標比值最大時，的“理想值”最大，此時直線與切于點，

設點Q（x，y），與x軸切于A，與OQ切于Q，

∵C（，1），

∴tan∠COA==，

∴∠COA=30°，

∵OQ、OA是的切線，

∴∠QOA=2∠COA=60°，

∴=tan∠QOA=tan60°=，

∴點的“理想值”為，

故答案為：.

（2）設直線與軸、軸的交點分別為點，點，

當x=0時，y=3，

當y=0時，x+3=0，解得：x=，

∴，．

∴，，

∴tan∠OAB=，

∴．

∵，

∴①如圖，作直線．

當與軸相切時，LQ=0，相應的圓心滿足題意，其橫坐標取到最大值．

作軸于點，

∴，

∴．

∵的半徑為1，

∴．

∴，

∴．

∴．

②如圖

當與直線相切時，LQ=，相應的圓心滿足題意，其橫坐標取到最小值．

作軸于點，則．

設直線與直線的交點為．

∵直線中，k=，

∴，

∴，點F與Q重合，

則．

∵的半徑為1，

∴．

∴．

∴，

∴．

∴．

由①②可得，的取值范圍是．

（3）∵M（2，m），

∴M點在直線x=2上，

∵，

∴LQ取最大值時，=，

∴作直線y=x，與x=2交于點N，

當M與ON和x軸同時相切時，半徑r最大，

根據題意作圖如下：M與ON相切于Q，與x軸相切于E，

把x=2代入y=x得：y=4，

∴NE=4，OE=2，ON==6，

∴∠MQN=∠NEO=90°，

又∵∠ONE=∠MNQ，

∴，

∴，即，

解得：r=.

∴最大半徑為.