Question

【題目】閱讀下面的材料：

解方程x4﹣7x2+12=0這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的解法通常是：設x2=y，則x4=y2，∴原方程可化為：y2﹣7y+12=0，解得y1=3，y2=4，當y=3時，x2=3，x=±，當y=4時，x2=4，x=±2．∴原方程有四個根是：x1=，x2=﹣，x3=2，x4=﹣2，以上方法叫換元法，達到了降次的目的，體現了數學的轉化思想，運用上述方法解答下列問題．

（1）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4=0；

（2）已知實數a，b滿足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10=0，試求a2+b2的值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解：（1）設y=x2+x，則y2﹣5y+4=0，

整理，得

（y﹣1）（y﹣4）=0，

解得y1=1，y2=4，

當x2+x=1即x2+x﹣1=0時，解得：x=；

當當x2+x=4即x2+x﹣4=0時，解得：x=；

綜上所述，原方程的解為x1，2=，x3，4=；

（2）設x=a2+b2，則x2﹣3x﹣10=0，

整理，得

（x﹣5）（x+2）=0，

解得y1=5，y2=﹣2（舍去），

故a2+b2=5．