Question

【題目】定義：我們把平面內與一個定點F和一條定直線l（l不經過點F）距離相等的點的軌跡（滿足條件的所有點所組成的圖形）叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
（1）已知拋物線的焦點F（0， ），準線l： ，求拋物線的解析式；
（2）已知拋物線的解析式為：y=x2﹣n2 ， 點A（0， ）（n≠0），B（1，2﹣n2），P為拋物線上一點，求PA+PB的最小值及此時P點坐標；
（3）若（2）中拋物線的頂點為C，拋物線與x軸的兩個交點分別是D、E，過C、D、E三點作⊙M，⊙M上是否存在定點N？若存在，求出N點坐標并指出這樣的定點N有幾個；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線上有一點（x，y），

由定義知：x2+（y﹣ ）2=|y+ |2，

解得y=ax2；

（2）

解：如圖1，由（1）得拋物線y=x2的焦點為（0， ），準線為y=﹣ ，

∴y=x2﹣n2由y=x2向下平移n2個單位所得，

∴其焦點為A（0， ﹣n2），準線為y=﹣ ﹣n2，

由定義知P為拋物線上的點，則PA=PH，

∴PA+PH最短為P、B、A共線，此時P在P′處，

∵x=1，

∴y=1﹣n2＜2﹣n2，

∴點B在拋物線內，

∴BI=yB﹣yI=2﹣n2﹣（﹣ ﹣n2）= ，

∴PA+PB的最小值為 ，此時P點坐標為（1，1﹣n2）；

（3）

解：由（2）知E（|n|，0），C（0，n2），

設OQ=m（m＞0），則CQ=QE=n2﹣m，

在Rt△OQE中，由勾股定理得|n|2+m2=（n2﹣m）2，

解得m= ﹣ ，

則QC= + =QN，

∴ON=QN﹣m=1，

即點N（0，1），

故AM過定點N（0，1）．

【解析】（1）直接根據新定義即可求出拋物線的解析式；（2）首先求出拋物線的焦點坐標以及準線方程，根據PA+PH最短時，P、B、A共線，據此求出PA+PB的最小值及此時P點坐標；（3）設OQ=m（m＞0），則CQ=QE=n2﹣m，在Rt△OQE中，由勾股定理得|n|2+m2=（n2﹣m）2 ， 進而求出ON是定值，據此作出判斷．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的圖象和二次函數的性質，需要了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．