Question

【題目】已知，如圖1，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，點C在直線BD上且與F重合，AC=EF，BC=DE .

(1)請說明△ABC≌△FDE，并判斷AC是否垂直FE？

(2)若將△ABC 沿BD方向平移至如圖2的位置時，且其余條件不變，則AC是否垂直FE？請說明為什么？

Answer 1

【答案】(1)AC⊥EF，理由見解析； (2)AC⊥FE，理由見解析.

【解析】

（1）根據HL的判定方法可證明△ABC≌△FDE，根據兩個全等直角三角形的幾個銳角之間的關系即可證明AC⊥EF．（2）由（1）可知∠A=∠F，根據∠ABC=∠ABF=90°，∠AMN=∠FMB，可知∠F+∠FMB=90°， ∠A+∠AMN=90°，進而可證明∠ANM=90°，即AC⊥FE.

(1)AC⊥EF．理由如下：

∵AB⊥BD，ED⊥BD，

∴∠B=∠D=90°，

在Rt△ABC和Rt△FDE中

∵AC=EF，BC=DE

∴△ABC≌△FDE(HL)

∴∠A=∠EFD，

∵∠B=90°，

∴∠A+∠ACB=90°，

∴∠ACB+∠ECD=90°，

∴∠ACE=180°-90°=90°，

∴AC⊥CE，

即AC⊥FE．

(2)AC垂直FE，理由如下：

∵∠A=∠F(已證)，∠ABC=∠ABF=90°，∠AMN=∠FMB，

∴∠F+∠FMB=90°，

∴∠A+∠AMN=90°，

∴∠ANM=180°-90°=90°，

∴AC⊥FE．