Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點C，與AB的延長線交于點D，DE⊥AD且與AC的延長線交于點E.

(1)求證：DC＝DE；

(2)若tan∠CAB＝，AB＝3，求BD的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2)1.

【解析】試題分析：（1）利用切線的性質和等腰三角形的性質可以得出∠DCE=∠E，進而得出答案；

（2）設BD=x，則AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，利用勾股定理得出BD的長．

試題解析：（1）連接OC，∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD=90°，∴∠ACO+∠DCE=90°，又∵ED⊥AD，∴∠EDA=90°，∴∠EAD+∠E=90°，∵OC=OA，∴∠ACO=∠EAD，故∠DCE=∠E，∴DC=DE；

（2）設BD=x，則AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，在Rt△EAD中，∵tan∠CAB=，∴ED=AD=（3+x），由（1）知，DC=（3+x），在Rt△OCD中，，則，解得：（舍去），，故BD=1．