Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其對稱軸與x軸相交于點M．

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PAB的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)連接AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=x2﹣x+4；(2)P(3，)；(3)N(，﹣3)．

【解析】

（1）拋物線經(jīng)過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用兩點式法設拋物線的解析式為y＝a（x1）（x5），代入A（0，4）即可求得函數(shù)的解析式；

（2）點A關于對稱軸的對稱點A′的坐標為（6，4），連接BA′交對稱軸于點P，連接AP，此時△PAB的周長最小，求出直線BA′的解析式，即可得出點P的坐標；

（3）設N點的橫坐標為t，此時點N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直線AC的解析式，即可求得NG的長與△ACN的面積，由二次函數(shù)最大值的問題即可求得答案．

解：(1)根據(jù)已知條件可設拋物線的解析式為y=a(x﹣1)(x﹣5)，

把點A(0，4)代入上式得：a=，

∴y=(x﹣1)(x﹣5)=x2﹣x+4；=(x﹣3)2﹣，

(2)∵點A(0，4)，拋物線的對稱軸是x=3，

∴點A關于對稱軸的對稱點A′的坐標為(6，4)，

如圖1，連接BA′交對稱軸于點P，連接AP，此時△PAB的周長最小．

設直線BA′的解析式為y=kx+b，

把A′(6，4)，B(1，0)代入得，解得，

∴y=x﹣，

∵點P的橫坐標為3，

∴y=×3﹣=，

∴P(3，)；

(3)設N點的橫坐標為t，此時點N(t，t2﹣t+4)(0＜t＜5)，

如圖2，過點N作NG∥y軸交AC于G，作AD⊥NG于D，

由點A(0，4)和點C(5，0)可求出直線AC的解析式為：y=﹣x+4，

把x=t代入得：y=﹣t+4，則G(t，﹣t+4)，

此時：NG=﹣t+4﹣(t2﹣t+4)=﹣t2+4t，

∵AD+CF=CO=5，

∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CF=NGOC=×(﹣t2+4t)×5=﹣2t2+10t=﹣2(t﹣)2+，

∴當t=時，△CAN面積的最大值為，

由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，

∴N(，﹣3)．