Question

【題目】如圖，點P為正方形ABCD的對角線BD上任一點，過點P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為點E、F，連接EF，下列結論①△FPD是等腰直角三角形；②AP=EF；③AD=PD；④∠PFE=∠BAP，其中正確的結論是（請填序號）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：如圖，
∵P為正方形ABCD的對角線BD上任一點，
∴PA=PC，∠C=90°，
∵過點P作PE⊥BC于點E，PF⊥CD，
∴∠PEC=∠DFP=∠PFC=∠C=90°，
∴四邊形PECF是矩形，
∴PC=EF，
∴PA=EF，故②正確，
∵BD是正方形ABCD的對角線，
∴∠ABD=∠BDC=∠DBC=45°，
∵∠PFC=∠C=90°，
∴PF∥BC，
∴∠DPF=45°，
∵∠DFP=90°，
∴△FPD是等腰直角三角形，故①正確，
在△PAB和△PCB中，
，
∴△PAB≌△PCB，
∴∠BAP=∠BCP，
在矩形PECF中，∠PFE=∠FPC=∠BCP，
∴∠PFE=∠BAP．故④正確，
∵點P是正方形對角線BD上任意一點，
∴AD不一定等于PD，
只有∠BAP=22.5°時，AD=PD，故③錯誤，
故答案為：①②④．
用正方形的性質和垂直的定義判斷出四邊形PECF是矩形，從而判定②正確；直接用正方形的性質和垂直得出①正確，利用全等三角形和矩形的性質得出④正確，由點P是正方形對角線上任意一點，說明AD和PD不一定相等，得出③錯誤．