Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D為BC的中點，點E，F分別在直線AB，AC上運動，且始終保持AE=CF．
（1）如圖①，若點E，F分別在線段AB，AC上，求證：DE=DF且DE⊥DF；

（2）如圖②，若點E、F分別在線段AB，CA的延長線上，（1）中的結論是否依然成立？說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖①，連接AD，

∵∠BAC=90°，AB=AC，D為BC中點，

∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，

∴AD=BD=DC，

在△AED和△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD（SAS），

∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，

又∵∠CDF+∠ADF=90°，

∴∠ADE+∠ADF=90°，

∴∠EDF=90°，

∴DE⊥DF

（2）解：若點E，F分別在線段AB，CA的延長線上，（1）中的結論依然成立，如圖②，

理由：∵∠BAC=90° AB=AC，D為BC中點

∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，

∴AD=BD=DC，

在△AED和△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD（SAS）；

∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，

又∵∠CDF﹣∠ADF=90°，

∴∠ADE﹣∠ADF=90°，

∴∠EDF=90°，

∴DE⊥DF

【解析】（1）利用等腰直角三角形的性質得出AD=BD=DC，進而證明△AED≌△CFD，利用全等三角形的性質得出DE=DF，∠ADE=∠CDF進而得出△DEF為等腰直角三角形；（2）若點E、F分別在線段AB，CA的延長線上，（1）中的結論依然成立，首先利用已知得出AD=BD=DC，進而利用全等三角形的判定得出△AED≌△CFD．
【考點精析】通過靈活運用等腰直角三角形，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°即可以解答此題．