Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AM和BN是⊙O的兩條切線，E是⊙O上一點，D是AM上一點，連接DE并延長交BN于點C，且OD∥BE，OF∥BN．
（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）求證：OF=

1

2

CD．

Answer 1

證明：（1）連接OE，
∵AM與圓O相切，
∴AM⊥OA，即∠OAD=90°，
∵OD∥BE，
∴∠AOD=∠ABE，∠EOD=∠OEB，
∵OB=OE，
∴∠ABE=∠OEB，
∴∠AOD=∠EOD，
在△AOD和△EOD中，

OA=OE ∠AOD=∠EOD OD=OD

，
∴△AOD≌△EOD（SAS），
∴∠OED=∠OAD=90°，
則DE為圓O的切線；

（2）在Rt△BCO和Rt△ECO中，

OB=OE OC=OC

，
∴Rt△BCO≌Rt△ECO，
∴∠BOC=∠EOC，
∵∠AOD=∠EOD，
∴∠DOC=∠EOD+∠EOC=

1

2

×180°=90°，
∵AM、BN為圓O的切線，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN，
∵OF∥BN，
∴AM∥OF∥BN，
又O為AB的中點，
∴F為CD的中點，
則OF=

1

2

CD．