Question

如圖，AB為半圓O的直徑，點C在半圓O上，過點O作BC的平行線交AC于點E，交過點A的直線于點D，且∠D=∠BAC．
（1）求證：AD是半圓O的切線；
（2）若BC=2，CE=

2

，求AD的長．

Answer 1

（1）證明：∵AB為半圓O的直徑，
∴∠BCA=90°．
又∵BC∥OD，
∴OE⊥AC．
∴∠D+∠DAE=90°．
∵∠D=∠BAC，
∴∠BAC+∠DAE=90°．
∴AD是半圓O的切線．

（2）∵BC∥OD，
∴△AOE∽△ABC，
∵BA=2AO，
∴

AO

BA

=

AE

AC

=

1

2

，又CE=

2

，
∴AC=2CE=2

2

．
在Rt△ABC中，
AB=

AC2+BC2

=

(2 2 )2+22

=2

3

，
∵∠D=∠BAC，∠ACB=∠DAO=90°，
∴△DOA∽△ABC．
∴

AD

AC

=

OA

BC

即

AD

2 2

=

3

2

．
∴AD=

6

．