Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A、B分別在x軸y軸的正半軸上，線段OA的長是不等式5x-4＜3（x+2）的最大整數解，線段OB的長是一元二次方程x²-2x-3=0的一個根，將Rt△ABO沿BE折疊，使AB邊落在OB邊所在的y軸上，點A與點D重合．
（1）求OA、OB的長；
（2）求直線BE的解析式；
（3）在平面內是否存在點M，使B、O、E、M為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出不等式的解集，求出OA，求出方程的解，得出OB；
（2）根據對折得出DE=AE，BD=AB=5，設OE=x，在Rt△OED中，由勾股定理得出方程2²+x²=（4-x）²，求出x，得出E的坐標，設直線BE的解析式是y=kx+b，把B、E的坐標代入求出即可；
（3）分別以OB、BE、OE為對角線，得出符合條件的四邊形有三個，根據B、E的坐標即可求出M的坐標．

解答：解：（1）∵5x-4＜3（x+2），
5x-4＜3x+6，
2x＜10，
x＜5，
∴OA=4，
∵x²-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0，
x-3=0，x+1=0，
x=3，x=-1，
∴OB=3，
答：OA=4，OB=3；

（2）在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，
∵OB=3，
∴B（0，3），
設OE=x，
∵將Rt△ABO沿BE折疊，使AB邊落在OB邊上，A與D重合，
∴DE=AE，BD=AB=5，
∴DE=AE=4-x，OD=5-3=2，
在Rt△OED中，由勾股定理得：2²+x²=（4-x）²，
解得：x=

3

2

，
即E的坐標是：（

3

2

，0）．
設直線BE的解析式是y=kx+b，
∵把B、E的坐標代入得：

b=3 0= 3 2 k+b

，
解得：k=-2，b=3，
∴直線BE的解析式是y=-2x+3；

（3）如圖所示：
在平面內存在點M，使B、O、E、M為頂點的四邊形為平行四邊形，點M的坐標是（-

3

2

，3）或（

3

2

，3）或（

3

2

，-3）．

點評：本題考查了解一元一次不等式，解一元二次方程，勾股定理，平行四邊形性質，折疊問題的應用，能綜合運用性質進行推理和計算是解此題的關鍵，注意：用了方程思想和分類討論思想．