Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°.

（1）求∠ABC的度數；

（2）求證：AE是⊙O的切線；

（3）當BC=4時，求劣弧AC的長．

Answer 1

【答案】（1）∠ABC=60°；

（2）證明見解析；

（3）π.

【解析】試題分析：（1）∠ABC與∠D都是弧AC所對的圓周角，可得∠ABC=∠D=60°；

由AB是直徑，可得∠ACB=90°，從而可得∠BAC=30°，由∠EAC=60°，可得∠EABC=90°，即AE是切線；

連接BC，由已知條件可知△BOC是等邊三角形，從而可得弧AC所對圓心角的度數，利用弧長公式即可得劣弧AC的長.

試題解析：（1）∵∠ABC與∠D都是弧AC所對的圓周角，∴∠ABC=∠D=60°；

（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∴∠BAC=30°，

∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，

∴AE是⊙O的切線；

（3）如圖，連接OC，

∴OB=OC，∠ABC=60°，

∴△OBC是等邊三角形，∵OB=BC=4，∠BOC=60°，

∴∠AOC=120°，

∴劣弧AC的長為=π．