Question

【題目】如圖，點A在⊙O上，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，連接OP交⊙O于點D，作AB⊥OP于點C，交⊙O于點B，連接PB．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若PC=9，AB=6 ， ①求圖中陰影部分的面積；

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，連接OB，

∵OP⊥AB，OP經過圓心O，

∴AC=BC，

∴OP垂直平分AB，

∴AP=BP，

∵OA=OB，OP=OP，

∴△APO≌△BPO（SSS），

∴∠PAO=∠PBO，

∵PA切⊙O于點A，

∴AP⊥OA，

∴∠PAO=90°，

∴∠PBO=∠PAO=90°，

∴OB⊥BP，

又∵點B在⊙O上，

∴PB與⊙O相切于點B；

（2）解：如圖1，

∵OP⊥AB，OP經過圓心O，

∴BC= AB=3 ，

∵∠PBO=∠BCO=90°，

∴∠PBC+∠OBC=∠OBC+∠BOC=90°，

∴∠PBC=∠BOC，

∴△PBC∽△BOC，

∴

∴OC= = =3，

∴在Rt△OCB中，OB= = =6，tan∠COB= = ，

∴∠COB=60°，

∴S△OPB= ×OP×BC= × =18 ，S扇DOB= =6π，

∴S陰影=S△OPB﹣S扇DOB=18 ﹣6π；

②若點E是⊙O上一點，連接AE，BE，當AE=6 時，BE= ．

3 ﹣3 或3 +3

【解析】②分兩種情況： i）當點E在 上時，如圖2，作直徑AF，交⊙O于F，連接EF、EB，過O作OG⊥AE于G，過F作FH⊥EB于H，

∴EG=AG= AE= × =3 ，
∵∠AOB=120°，OA=OB，
∴∠OAB=30°，
∴∠BEF=∠OAB=30°，
Rt△OGE中，由①知：OA=6，
∴OG= = =3 ，
∴AG=OG，
∴△OGA是等腰直角三角形，
∴∠OAE=45°，
∴∠EBF=∠OAE=45°，
∵AF是⊙O的直徑，
∴∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF=AE=6 ，
Rt△EHF中，∠BEF=30°，
∴FH= EF=3 ，
∴EH= = =3 ，
Rt△BHF中，∵∠EBF=45°，
∴△BHF是等腰直角三角形，
∴BH=FH=3 ，
∴BE=3 +3 ，
ii）當點E在劣弧 上時，如圖3，
作直徑AF，并⊙O于F，連接OB、OE、BF，過B作BH⊥OE于H，

∵AF為⊙O的直徑，
∴∠ABF=90°，
∵∠BAF=30°，
∴∠F=∠BOF=60°，
∵OA=OE=6，AE=6 ，
∴OA2+OE2=AE2 ，
∴∠AOE=90°，
∴∠EOF=90°，
∴∠EOB=30°，
Rt△OHB中，BH= OB=3，
∴OH= =3 ，
∴EH=6﹣3 ，
∴BE= = = =3 ﹣3 ；
綜上所述，BE的長為3 +3 或3 ﹣3 ；
所以答案是：3 ﹣3 或3 +3 ．
【考點精析】通過靈活運用垂徑定理和扇形面積計算公式，掌握垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）即可以解答此題．