Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，以OB為直徑畫圓M，過D作⊙M的切線，切點為N，分別交AC、BC于點E、F，已知AE＝5，CE＝3，則DF的長是（　　）

A. 3B. 4C. 4.8D. 5

Answer 1

【答案】C

【解析】

過點B作直線平行AC和EF的延長線相交于P，由菱形的性質，可求得OE的長，證得AC是⊙M的切線，然后由切線長定理，求得EN的長，易證得△DMN∽△DEO，△EFC∽△PFB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．

過點B作直線平行AC和EF的延長線相交于P．

∵AE=5，EC=3，∴AC=AE+CE=8．

∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OCAC=4，AC⊥BD，∴OE=OC﹣CE=4﹣3=1．

∵以OB為直徑畫圓M，∴AC是⊙M的切線．

∵DN是⊙M的切線，∴EN=OE=1，MN⊥AN，∴∠DNM=∠DOE=90°．

∵∠MDN=∠EDO，∴△DMN∽△DEO，∴DM：MN=DE：OE．

∵MN=BM=OMOB，∴DM=OD+OM=3MN，∴DE=3OE=3．

∵OE∥BP，∴OD：OB=DE：EP=OE：BP．

∵OD=OB，∴DE=EP=3，∴BP=2OE=2．

∵OE∥BP，∴△EFC∽△PFB，∴EF：PF=EC：BP=3：2，∴EF：EP=3：5，∴EF=EP1.8，∴DF=DE+EF=3+1.8=4.8．

故選C．