Question

如圖，已知Rt△ABC，D₁是斜邊AB的中點，過D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，連結BE₁交CD₁于D₂；過D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，連結BE₂交CD₁于D₃；過D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此繼續，可以依次得到點E₄、E₅、…、E_n，分別記△BCE₁、△BCE₂、△BCE₃···△BCE_n的面積為S₁、S₂、S₃、…S_n. 則S_n＝ ▲  S_△ABC（用含n的代數式表示）．

Answer 1

本題考查了相似三角形的相關知識。
分析：根據直角三角形的性質以及相似三角形的性質，再利用在△ACB中，D₂為其重心可得D₂E₁=1/3BE₁，然后從中找出規律即可解答。
解答：
解：根據題意可知D₁E₁∥BC，
∴△BD₁E₁與△CD₁E₁同底同高，面積相等，以此類推；
根據直角三角形的性質以及相似三角形的性質可知：D₁E₁=1/2BC，CE₁=1/2AC，S₁=1/2BC?CE₁=1/2BC×1/2AC=1/2×1/2AC?BC=1/2S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂為其重心，
∴D₂E₁=1/3BE₁，
∴D₂E₂=1/3BC，CE₂=1/3AC，S₂=1/3×1/2×AC?BC=1/3S_△ABC。
∴D₃E₃=1/4BC，CE₂=1/4AC，S₃=1/4S_△ABC…；
∴S_n=1/（n+1）S_△ABC。