Question

【題目】一透明的敞口正方體容器ABCD﹣A′B′C′D′裝有一些液體，棱AB始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為α（∠CBE=α，如圖1所示）．探究 如圖1，液面剛好過棱CD，并與棱BB′交于點Q，此時液體的形狀為直三棱柱，其三視圖及尺寸如圖2所示．

解決問題：
（1）CQ與BE的位置關系是 ， BQ的長是dm；
（2）求液體的體積；（參考算法：直棱柱體積V液=底面積S△BCQ×高AB）
（3）求α的度數．（注：sin49°=cos41°= ，tan37°= ）
（4）延伸：在圖4的基礎上，于容器底部正中間位置，嵌入一平行于側面的長方形隔板（厚度忽略不計），得到圖5，隔板高NM=1dm，BM=CM，NM⊥BC．繼續向右緩慢旋轉，當α=60°時，通過計算，判斷溢出容器的液體能否達到4dm3 ．

Answer 1

【答案】
（1）CQ∥BE；3
（2）

解：V液= ×3×4×4=24（dm3）

（3）

解：在Rt△BCQ中，tan∠BCQ= ，

∴α=∠BCQ=37°．

當容器向左旋轉時，如圖3，0°≤α≤37°，

∵液體體積不變，

∴ （x+y）×4×4=24，

∴y=﹣x+3．

當容器向右旋轉時，如圖4．同理可得：y= ；

當液面恰好到達容器口沿，即點Q與點B′重合時，如圖5，

由BB′=4，且 PBBB′×4=24，得PB=3，

∴由tan∠PB′B= ，得∠PB′B=37°．

∴α=∠B′PB=53°．此時37°≤α≤53°；

（4）解：當α=60°時，如圖6所示，設FN∥EB，GB′∥EB，過點G作GH⊥BB′于點H．

在Rt△B′GH中，GH=MB=2，∠GB′B=30°，

∴HB′=2 ．

∴MG=BH=4﹣2 ＜MN．

此時容器內液體形成兩層液面，液體的形狀分別是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G為底面的直棱柱．

∵S△NFM+SMBB′G= × ×1+ （4﹣2 +4）×2=8﹣ ．

∴V溢出=24﹣4（8﹣ ）= ﹣8＞4（dm3）．

∴溢出液體可以達到4dm3．

【解析】解：（1）CQ∥BE，BQ= =3；
【考點精析】掌握矩形的性質是解答本題的根本，需要知道矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．