Question

【題目】已知拋物線的頂點H（2，0），經過點A（1，1），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，在線段OC（端點除外）上是否存在一點N，直線NA交拋物線于另一點B，滿足BC＝BN？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，過點P（﹣3，0）作直線交拋物線于點F、G，FM⊥x軸于M，GN⊥x軸于N，求PMPN的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+4．（2）（0，）．（3）25.

【解析】

（1）由點H的坐標可設拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2，由點A的坐標利用待定系數法，即可求出拋物線的解析式；

（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，假設存在，設點N的坐標為（0，m）（0＜m＜4），過點B作BD⊥y軸，垂足為D，則點D的坐標為（0，2+），根據點N，A的坐標利用待定系數法可求出直線AB的解析式，聯立直線AB及拋物線的解析式成方程組，通過解方程組可得出點B的坐標，由點B，D的縱坐標相等，可得出關于m的一元二次方程，解之取其大于0且小于4的值即可得出結論；

（3）設直線PF的解析式為y＝n（x+3）（n＞0），將其代入拋物線解析式中可求出點M，N的坐標，結合點P的坐標可得出PM、PN的長度，再將二者相乘即可得出求得．

（1）設拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2，

將A（1，1）代入y＝a（x﹣2）2，得：1＝a×（1﹣2）2，

解得：a＝1，

∴拋物線的解析式為y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣4x+4．

（2）當x＝0時，y＝x2﹣4x+4＝4，

∴點C的坐標為（0，4）．

假設存在，設點N的坐標為（0，m）（0＜m＜4）．

在圖1中，過點B作BD⊥y軸，垂足為D，

∵BC＝BN，

∴CD＝ND，

∴點D的坐標為（0，2+）．

設直線AB的解析式為y＝kx+m（k≠0），

將A（1，1）代入y＝kx+m，得：1＝k+m，

解得：k＝1﹣m，

∴直線AB的解析式為y＝（1﹣m）x+m．

聯立直線AB及拋物線的解析式成方程組，得：，

解得：，

∴點B的坐標為（4﹣m，m2﹣4m+4）．

∵BD⊥y軸，

∴2+＝m2﹣4m+4，即2m2﹣9m+4＝0，

解得：m1＝，m2＝4（舍去），

∴存在符合題意得點N，點N的坐標為（0，）．

（3）設直線PF的解析式為y＝n（x+3）（n＞0），

將y＝n（x+3）代入y＝x2﹣4x+4，整理得：x2﹣（4+n）x+4﹣3n＝0，

解得：x1＝，x2＝，

∴點M的坐標為（，0），點N的坐標為（，0），

∴PM＝﹣（﹣3）＝，

PN＝﹣（﹣3）＝，

∴PMPN＝×＝25．