Question

某區政府大力扶持大學生創業．李剛在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈．銷售過程中發現，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可近似的看作一次函數：y=-10x+500．
（1）設李剛每月獲得利潤為w（元），當銷售單價定為每臺多少元時，每月可獲得最大利潤？
（2）如果李剛想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？
（3）根據物價部門規定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李剛想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝進價×銷售量）

Answer 1

（1）當銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤；
（2）李明想要每月獲得2000元的利潤，銷售單價應定為30元或40元；
（3）想要每月獲得的利潤不低于2000元，每月的成本最少為3600元．

試題分析：（1）由題意得，每月銷售量與銷售單價之間的關系可近似看作一次函數，利潤=（定價﹣進價）×銷售量，從而列出關系式；
（2）令w=2000，然后解一元二次方程，從而求出銷售單價；
（3）根據拋物線的性質和圖象，求出每月的成本．
試題解析：（1）由題意，得：w=（x﹣20）•y=（x﹣20）•（﹣10x+500）=﹣10x²+700x﹣10000，
x==35，
答：當銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤；
（2）由題意，得：﹣10x²+700x﹣10000=2000，
解這個方程得：x₁=30，x₂=40，
答：李明想要每月獲得2000元的利潤，銷售單價應定為30元或40元；
（3）∵a=﹣10＜0，
∴拋物線開口向下，
∴當30≤x≤40時，w≥2000，
∵x≤32，
∴當30≤x≤32時，w≥2000，
設成本為P（元），由題意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000，
∵a=﹣200＜0，
∴P隨x的增大而減小，
∴當x=32時，P_最小=3600，
答：想要每月獲得的利潤不低于2000元，每月的成本最少為3600元．