Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點F在邊BC上，且AF=AD，過點D作DE⊥AF，垂足為點E．

（1）求證：DE=AB．
（2）以D為圓心，DE為半徑作圓弧交AD于點G．若BF=FC=1，試求 的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，

∴∠EAD=∠AFB，

∵DE⊥AF，

∴∠AED=90°，

在△ADE和△FAB中， ，

∴△ADE≌△FAB（AAS），

∴DE=AB

（2）解：連接DF，如圖所示：

在△DCF和△ABF中， ，

∴△DCF≌△ABF（SAS），

∴DF=AF，

∵AF=AD，

∴DF=AF=AD，

∴△ADF是等邊三角形，

∴∠DAE=60°，

∵DE⊥AF，

∴∠AED=90°，

∴∠ADE=30°，

∵△ADE≌△FAB，

∴AE=BF=1，

∴DE= AE= ，

∴ 的長= = ．

【解析】（1）由矩形的性質得出∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，得出∠EAD=∠AFB，由AAS證明△ADE≌△FAB，得出對應邊相等即可；（2）連接DF，先證明△DCF≌△ABF，得出DF=AF，再證明△ADF是等邊三角形，得出∠DAE=60°，∠ADE=30°，由AE=BF=1，根據三角函數得出DE，由弧長公式即可求出 的長．
【考點精析】掌握含30度角的直角三角形和矩形的性質是解答本題的根本，需要知道在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．