Question

（2013•高淳縣一模）如圖①，若點P是△ABC內或邊上一點，且∠BPC=2∠A，則稱點P是△ABC內∠A的二倍角點．
（1）如圖②，點O等邊△ABC的外心，連接OB、OC．
①求證：點O是△ABC內∠A的一個二倍角點；
②作△BOC的外接圓，求證：弧BOC上任意一點（B、C除外）都是△ABC內∠A的二倍角點．
（2）如圖③，在△ABC的邊AB上求作一點M，使點M是△ABC內∠A的一個二倍角點（要求用尺規作圖，保留作圖痕跡，并寫出作法）．
（3）在任意三角形形內，是否存在一點P同時為該三角形內三個內角的二倍角點？請直接寫出結論，不必說明理由．

Answer 1

分析：（1）①由點O等邊△ABC的外心，連接OB、OC，根據三角形外心的性質與圓周角定理，即可得∠BOC=2∠A，且點O在△ABC內，即可證得點O是△ABC內∠A的一個二倍角點；
②由圓周角定理可得∠BO′C=∠BOC，且點O′是△ABC的內一點，即可證得弧BOC上任意一點（B、C除外）都是△ABC內∠A的二倍角點．
（2）作AC的垂直平分線交AB于點M，連接MC，可得AM=CM，即可得∠ACM=∠A，則∠BMC=∠A+∠ACM=2∠A，可得M是△ABC內∠A的一個二倍角點；
（3）分別從銳角三角形、直角三角形與鈍角三角形去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）①∵點O等邊△ABC的外心，
∴∠BOC=2∠A，
又∵點O在△ABC內，
∴點O是△ABC內∠A的一個二倍角點．…（2分）

②設O′弧BOC上任意一點，
則∠BO′C=∠BOC，
∵∠BOC=2∠A，
∴∠BO′C=2∠A，
又∵點O′是△ABC的內一點，
∴點O′是△ABC內∠A的二倍角點．…（4分）

（2）如右圖，作AC的垂直平分線交AB于點M，連接MC，
則點M為所求作的點．…（6分）

（3）ⅰ）當三角形為銳角或直角三角形時，三角形外接圓的圓心即為該三角形內三個內角的二倍角點；    …（8分）
ⅱ）當三角形為鈍角三角形時，不存在一點同時為該三角形內三個內角的二倍角點．…（10分）

點評：此題考查了三角形外心的性質、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質以及尺規作圖等知識．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與分類討論思想的應用．