Question

如圖：P是反比例函數y=

k

x

（k＞0）圖象在第一象限上的一個動點，過P作x軸的垂線，垂足為M，已知△POM的面積為2．
（1）求k的值；
（2）若直線y=x與反比例函數y=

k

x

的圖象在第一象限內交于點A，求過點A和點B（0，-2）的直線表達式；
（3）過A作AC⊥y軸于點C，若△ABC與△POM相似，求點P的坐標．

Answer 1

（1）∵△POM的面積為2，
設P（x，y），
∴

1

2

xy=2，即xy=4，
∴k=4；

（2）解方程組

y=x y= 4 x

，得

x=2 y=2

，或

x=-2 y=-2

，
∵點A在第一象限，
∴A（2，2），（3分）
設直線AB的表達式為y=mx+n，
將A（2，2）B（0，-2）代入得：

2m+n=2 n=-2

解之得

m=2 n=-2

，
∴直線AB的表達式為y=2x-2；

（3）①若△ABC∽△POM，則有PM：OM=AC：AB=2：4=1：2，
又

1

2

PM•OM=2，即

1

2

×2PM•PM=2，得PM=

2

∴P（2

2

，

2

）；
②若△ABC∽△OPM，同上述方法，易得OM=

2

，∴P（

2

，2

2

），
∴符合條件的點P有（2

2

，

2

）或（

2

，2

2

）．（9分）