Question

【題目】如圖，拋物線y= x2﹣ x+c與y軸交于點A（0，﹣ ），與x軸交于B、C兩點，其對稱軸與x軸交于點D，直線l∥AB且過點D．

（1）求AB所在直線的函數表達式；
（2）請你判斷△ABD的形狀并證明你的結論；
（3）點E在線段AD上運動且與點A、D不重合，點F在直線l上運動，且∠BEF=60°，連接BF，求出△BEF面積的最小值．
解：

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（0，﹣ ）代入拋物線解析式，得c=﹣ ，

∴y= x2﹣ x﹣ ，

當y=0時， x2﹣ x﹣ =0化簡，得

x2﹣2x﹣3=0，

∵（x+1）（x﹣3）=0，

∴x1=﹣1，x2=3，

點B（﹣1，0），點C（3，0），

設直線AB的解析式為y=kx+b，將A、B點坐標代入函數解析式，得

，解得 ，

直線AB的解析式為y=﹣ x﹣

（2）

解：△ABD是等邊三角形，

∵點B（﹣1，0），點D（1，0），

∴OB=OD=1，

在△BOA和△DOA中， ，

∴△BOA≌△DOA，

∴BA=DA．

tan∠ABO= = = ，

∴∠ABO=60°，

∴△ABD是等邊三角形

（3）

如圖

，

過點E作EG∥x軸，交AB于點G，

∵△ABD是等邊三角形，

∴∠BAD=∠ABD=∠ADB=60°，

∴∠AEG=∠AGE=60°，

∴△AEG是等邊三角形，

∴AE=AG，∴DE=BG．

∵AB∥l，

∴∠EDF=∠BGE=120°，

∴∠GBE+∠GEB=60°，∠DEF+∠GEB=60°，

∴∠GBE=∠DEF，

在△BEG和△EFD中 ，

∴△BEG≌△EFD，

∴BE=EF，

∵∠BEF=60°，

∴△BEF是等邊三角形，

∴S△BEF= BE2，當BE⊥AD時，BE的長度最小，△BEF的面積最小，

此時BE=ABsin60°= ，

S△BEF最小= BE2=

【解析】（1）根據待定系數法，可得函數解析式，根據自變量與函數值的對應關系，可得點的坐標，根據待定系數法，可得函數解析式；（2）根據全等三角形的判定與性質，可得BA與DA，根據正切函數的定義，可得∠ABO，根據等邊三角形的判定，可得答案；（3）根據平行線的性質，可得∠AEG=∠AGE=60°，根據全等三角形的判定與性質，可得BE=EF，根據等邊三角形的判定，可得△BEF是等邊三角形，根據等邊三角形的面積，根據垂線段最短，可得BE的長，可得答案．