Question

已知：關于x的二次函數y=-x²+ax（a＞0），點A（n，y₁）、B（n+1，y₂）、C（n+2，y₃）都在這個二次函數的圖象上，其中n為正整數．
（1）y₁=y₂，請說明a必為奇數；
（2）設a=11，求使y₁≤y₂≤y₃成立的所有n的值；
（3）對于給定的正實數a，是否存在n，使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代數式表示）；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點A和點B的坐標代入二次函數的解析式，利用y₁=y₂得到用n表示a的式子，即可得到答案；
（2）將a=11代入解析式后，由題意列出不等式組，求得此不等式組的正整數解；
（3）本問為存在型問題．如解答圖所示，可以由三角形全等及等腰三角形的性質，判定點B為拋物線的頂點，點A、C關于對稱軸對稱．于是得到n+1=，從而可以求出n=-1．
解答：解：（1）∵點A（n，y₁）、B（n+1，y₂）、C（n+2，y₃）都在二次函數y=-x²+ax（a＞0）的圖象上，
∴y₁=-n²+an，y₂=-（n+1）²+a（n+1）
∵y₁=y₂，
∴-n²+an=-（n+1）²+a（n+1）
整理得：a=2n+1
∴a必為奇數；

（2）當a=11時，∵y₁≤y₂≤y₃
∴-n²+11n≤-（n+1）²+11（n+1）≤-（n+2）²+11（n+2）
化簡得：0≤10-2n≤18-4n，
解得：n≤4，
∵n為正整數，
∴n=1、2、3、4．

（3）假設存在，則BA=BC，如右圖所示．
過點B作BN⊥x軸于點N，過點A作AD⊥BN于點D，CE⊥BN于點E．
∵x_A=n，x_B=n+1，x_C=n+2，
∴AD=CE=1．
在Rt△ABD與Rt△CBE中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CBE（HL）．
∴∠ABD=∠CBE，即BN為頂角的平分線．
由等腰三角形性質可知，點A、C關于BN對稱，
∴BN為拋物線的對稱軸，點B為拋物線的頂點，
∴n+1=，
∴n=-1．
∴a為大于2的偶數，存在n，使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形，n=-1．
點評：本題考查了二次函數的綜合知識，涉及二次函數的圖象與性質、等腰三角形、全等三角形、因式分解、解不等式等知識點，有一定的難度，是一道好題．