Question

（本小題滿分12分）

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．

如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點B出發，以2 cm/s的速度沿BA向點A勻速移動.當△DEF的頂點D移動到AC邊上時，△DEF停止移動，點P也隨之停止移動．DE與AC相交于點Q，連接PQ，設移動時間為t（s）（0＜t＜4.5）．

解答下列問題：

（1）當t為何值時，點A在線段PQ的垂直平分線上？

（2）連接PE，設四邊形APEC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式；是否存在某一時刻t，使面積y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，說明理由．

（3）是否存在某一時刻t，使P、Q、F三點在同一條直線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

 

（1）t=2

（2）當t = 3時，y最小=

（3）當t = 1s，點P、Q、F三點在同一條直線上

解析:

解：（1）∵點A在線段PQ的垂直平分線上，

∴AP = AQ.

∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，

∴∠EQC = 45°.

      ∴∠DEF =∠EQC.

      ∴CE = CQ.

 由題意知：CE = t，BP=2 t，          

           ∴CQ = t.

           ∴AQ = 8－t.

           在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm .

           則AP = 10－2 t.

           ∴10－2 t = 8－t.

           解得：t = 2.

     答：當t = 2 s時，點A在線段PQ的垂直平分線上.       4分

（2）過P作，交BE于M，∴.

在Rt△ABC和Rt△BPM中，，

       ∴.   ∴PM = .

       ∵BC = 6 cm，CE = t，  ∴ BE= 6－t.

 ∴y = S△ABC－S△BPE =－= －

= = .

∵，∴拋物線開口向上.

∴當t = 3時，y最小=.

答：當t = 3s時，四邊形APEC的面積最小，最小面積為cm2.   8分

（3）假設存在某一時刻t，使點P、Q、F三點在同一條直線上.

過P作，交AC于N，

∴.

∵，∴△PAN ∽△BAC.

∴.

∴.

∴，.

∵NQ = AQ－AN，

∴NQ = 8－t－() = ．

∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一條直線上，

∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.

∵∠FQC = ∠PQN，

∴△QCF∽△QNP .

∴.  ∴. 

∵   ∴

解得：t = 1.

答：當t = 1s，點P、Q、F三點在同一條直線上.        12分