Question

如圖，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點．點E從點A出發，沿AB運動到點B停止．連接EM并延長交射線CD于點F，過M作EF的垂線交射線BC于點G，連接EG、FG．

（1）設AE=x時，△EGF面積為y．求y關于x的函數關系式，并填寫自變量x的取值范圍；
（2）P是MG的中點，請直接寫出點P運動路線的長．

Answer 1

（1）0≤x≤2
（2）2

（1）當點E與點A重合時，x=0，y=×2×2=2；
當點E與點A不重合時，0＜x≤2．
在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，
∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF．
∵AM=DM，∠AMF=∠DMF，∴△AME≌△DMF，∴ME=MF．
在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=．∴EF=2MF=2．
過點M作MN⊥BC，垂足為N（如圖）．則∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM．

∴∠AME+∠EMN=90°．
∵∠EMG=90°，∴∠GMN+∠EMN=90°，∴∠AME=∠GMN，
∴Rt△AME∽Rt△NMG，
∴，即，
∴MG=2ME=2，
∴y=EF·MG=×2×2=2x2+2，
∴y =2x2+2，其中0≤x≤2．
（2）點P運動路線的長為2．