Question

【題目】如圖：在△ABC中，CE、CF分別平分∠ACB與它的鄰補角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直線EF分別交AB、AC于M、N．

（1）求證：四邊形AECF為矩形；

（2）試猜想MN與BC的關系，并證明你的猜想；

（3）如果四邊形AECF是菱形，試判斷△ABC的形狀，直接寫出結果，不用說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）MN∥BC且MN＝BC，證明詳見解析；（3）△ABC是直角三角形（∠ACB＝90°）

【解析】

（1）根據題意直接證明三個角是直角即可解決問題；

（2）由題意可知結論：MN∥BC且MN＝BC．只要證明MN是△ABC的中位線即可；

（3）由題意根據菱形的性質進行分析即可判定△ABC是直角三角形（∠ACB＝90°）.

（1）證明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，

∴∠AEC＝∠AFC＝90°，

又∵CE、CF分別平分∠ACB與它的鄰補角∠ACD，

∴∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，

∴∠ACE+∠ACF＝（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）＝×180°＝90°，

∴三個角為直角的四邊形AECF為矩形．

（2）結論：MN∥BC且MN＝BC．

證明：∵四邊形AECF為矩形，

∴對角線相等且互相平分，

∴NE＝NC，

∴∠NEC＝∠ACE＝∠BCE，

∴MN∥BC，

又∵AN＝CN（矩形的對角線相等且互相平分），

∴N是AC的中點，

若M不是AB的中點，則可在AB取中點M1，連接M1N，

則M1N是△ABC的中位線，M1N∥BC，

而MN∥BC，M1即為點M，

所以MN是△ABC的中位線（也可以用平行線等分線段定理，證明AM＝BM）

∴MN＝BC.

（3）解：△ABC是直角三角形（∠ACB＝90°）．

理由：∵四邊形AECF是菱形，

∴AC⊥EF，

∵EF∥AC，

∴AC⊥CB，

∴∠ACB＝90°．即△ABC是直角三角形．