Question

如圖，已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為10cm，點(diǎn)M從C到D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．將正方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)A與點(diǎn)M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點(diǎn)G．設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜10），單位：s．
（1）求證：△DEM∽△CMG；
（2）當(dāng)t=5s時(shí)，求△DEM的周長(zhǎng)；
（3）當(dāng)5＜t＜10時(shí)，求△CMG的周長(zhǎng)．

Answer 1

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：∠EMG=∠A=90°
∴∠DME+∠CMG=90°
∵∠DME+∠DEM=90°
∴∠DEM=∠CMG
∵∠D=∠C=90°
∴△DEM∽△CMG．

（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：EM=EA，當(dāng)t=5時(shí)，DM=CM=5
∴△DEM的周長(zhǎng)為：DM+DE+EM=DM+DE+EA=DM+DA=15cm；

（3）依題意得：CM=t，DM=10-t，
設(shè)EM=EA=x，則DE=10-x
在Rt△DEM中，EM²=DE²+DM²，
即x²=（10-x）²+（10-t）²
解得：x=10-t+

t2

20

，DE=10-x=t-

t2

20

∵△DEM∽△CMG
∴

ME

DE

=

GM

CM

即

x

10-t

=

GM

t

，
解得：GM=

200-20t+t2

20-t

同理可得：CG=

200-20t

20-t

∴△CMG的周長(zhǎng)為：CM+CG+MG=20cm．