Question

如圖所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，點P、Q分別在邊AB、BC上，且AP＝BQ.

(1)求證：△BDQ≌△ADP；
(2)已知AD＝3，AP＝2，求cos∠BPQ的值 (結果保留根號)

Answer 1

（1）證明可得 ∴△BDQ≌△ADP（SAS）（2）

試題分析：(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∵∠A＝60°，

∴△ABD是等邊三角形，∴BD＝AD，∠ABD＝60° 
∵AD∥BC，∴∠DBQ＝60° 
在△BDQ與△ADP中，
∵ ∴△BDQ≌△ADP（SAS） 
（2)解：∵△BDQ≌△ADP，∴∠BDQ＝∠ADP，DQ＝DP，∴∠PDQ＝∠ADB＝60°.
∴△DPQ是等邊三角形．∴∠DPQ＝60°
∵∠DPQ＋∠BPQ＝∠A＋∠ADP，∴∠BPQ＝∠ADP 
過點P作PM⊥AD于M，在Rt△APM中，PM=AP.sin∠A=2sin60⁰=,
AM=AP.cos60⁰=1,∴DM="3-1=2," 在Rt△PDM中,PD=
cos∠ADP==, ∴cos∠BPQ =cos∠ADP 
點評：本題考查全等三角形，三角函數，解答本題要求考生掌握三角形全等的判定方法，會證明兩個三角形全等，熟悉三角函數的定義