Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+bx+c與y軸的交于點A（0，3），與x軸的交于點B和C，點B的橫坐標為2．點A關于拋物線對稱軸對稱的點為點D，在x軸上有一動點E（t，0），過點E作平行于y軸的直線與拋物線、直線AD的交點分別為P、Q．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點P在線段AC的下方時，求△APC面積的最大值；

（3）當t＞2時，是否存在點P，使以A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似．若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣2x+3；（2）當t=3時，△APC的面積取最大值，最大值為；（3）當t＞2時，存在點P，使以A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似，此時t的值為或或14．

【解析】

（1）由點A、B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，由點A、C的坐標利用待定系數法可求出直線AC的解析式，設直線l與直線AC的交點為F，則點F的坐標為（t，﹣t+3）．結合點P的坐標即可得出PF的值，由S△APC=S△APF+S△CPF可得出S△APC=﹣（t﹣3）2+，再利用二次函數的性質即可解決最值問題；

（3）由∠AOB=∠AQP=90°，可分△AOB∽△AQP和△AOB∽△PQA兩種情況考慮，利用相似三角形的性質可得出關于t的方程，解之即可得出結論．

（1）將A（0，3）、B（2，0）代入y=x2+bx+c，得：

，解得：，∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x+3．

（2）當y=0時，有x2﹣2x+3=0，解得：x1=2，x2=6，∴點C的坐標為（6，0）．

設直線AC的解析式為y=mx+n（m≠0），將A（0，3）、C（6，0）代入y=mx+n，得：

，解得：，∴直線AC的解析式為y=﹣x+3．

設直線l與直線AC的交點為F，如圖1所示，則點F的坐標為（t，﹣t+3）．

∵點P的坐標為（t，t2﹣2t+3），∴PF=﹣t+3﹣（t2﹣2t+3）=﹣t2+t，∴S△APC=S△APF+S△CPF=OEPF+CEPF=OCPF=×6×（﹣t2+t）=﹣（t﹣3）2+．

∵a=﹣＜0，當t=3時，△APC的面積取最大值，最大值為．

（3）假設存在．

∵∠AOB=∠AQP=90°，∴分△AOB∽△AQP和△AOB∽△PQA兩種情況考慮．

∵A（0，3），B（2，0），Q（t，3），P（t，t2﹣2t+3），∴AO=3，BO=2，AQ=t，PQ=|t2﹣2t|．

①當△AOB∽△AQP時，有=，即=，解得：t1=0（舍去），t2=，t3=，經檢驗，t2=、t3=是所列分式方程的解；

②當△AOB∽△PQA時，有=，即=，解得：t4=0（舍去），t5=2（舍去），t6=14，經檢驗，t6=14是所列分式方程的解．

綜上所述：當t＞2時，存在點P，使以A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似，此時t的值為或或14．