Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，動點M從點B出發，在BA邊上以每秒2cm的速度向點A勻速運動，同時動點N從點C出發，在CB邊上以每秒 cm的速度向點B勻速運動，設運動時間為t秒（0≤t≤5），連接MN．

（1）若BM=BN，求t的值；
（2）若△MBN與△ABC相似，求t的值；
（3）當t為何值時，四邊形ACNM的面積最小？并求出最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，

∴∠B=30°，

∴AB=2AC=10，BC=5 ．

由題意知：BM=2t，CN= t，

∴BN=5 - t，

∵BM=BN，

∴2t=5 - t

解得： ．

（2）

解：分兩種情況：①當△MBN∽△ABC時，

則 ，即 ，

解得：t= ．

②當△NBM∽△ABC時，

則 ，即 ，

解得：t= ．

綜上所述：當t= 或t= 時，△MBN與△ABC相似．

（3）

解：過M作MD⊥BC于點D，則MD∥AC，

∴△BMD∽△BAC，

∴ ，

即 ，

解得：MD=t．

設四邊形ACNM的面積為y，

∴y= = = ．

∴根據二次函數的性質可知，當t= 時，y的值最小．

此時， ．

【解析】（1）由已知條件得出AB=10，BC=5 ． 由題意知：BM=2t，CN= t，BN=5 - t，由BM=BN得出方程2t=5 - t，解方程即可；（2）分兩種情況：①當△MBN∽△ABC時，由相似三角形的對應邊成比例得出比例式，即可得出t的值；②當△NBM∽△ABC時，由相似三角形的對應邊成比例得出比例式，即可得出t的值；（3）過M作MD⊥BC于點D，則MD∥AC，證出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t．四邊形ACNM的面積y=△ABC的面積﹣△BMN的面積，得出y是t的二次函數，由二次函數的性質即可得出結果．