Question

【題目】如圖，圖①中△ABC是等邊三角形，其邊長是3，圖②中△DEF是等腰直角三角形，∠F＝90°，DF＝EF＝3.

(1)若S1為△ABC的面積，S2為△DEF的面積，S3＝AB·BC·sinB，S4＝DE·DF·sinD，請通過計算說明S1與S3，S2與S4之間有著怎樣的關系；

(2)在圖③中，∠P＝α(α為銳角)，OP＝m，PQ＝n，△OPQ的面積為S，請你根據第(1)小題的解答，直接寫出S與m，n以及α之間的關系式，并給出證明．

Answer 1

【答案】(1) S1＝S3，S2＝S4 (2) S＝mnsinα.

【解析】（1）圖①，過點A作AH⊥BC于點H，由已知先求出AH的長，再利用三角形面積公式進行計算可得S1；圖②直接利用三角形面積公式進行求解可得S2；

根據已知數據可計算得出S3，計算S4時，先利用勾股定理求出DE的長，再代入式子進行計算即可，根據以上數據進行比較即可得；

（2）根據（1）中的發現直接寫出然后進行證明即可得.證明思路：過點O作OM⊥PQ，垂足為點M，在Rt△OPM中，先求出OM長，再利用三角形面積公式進行計算即可得證.

（1）如圖，過點A作AH⊥BC于點H，

∵△ABC是等邊三角形，AH⊥BC，∴AH＝AB·sinB＝3sin60°＝3×＝，

∴S1＝×3×＝，

∵△DEF是等腰直角三角形，∠F＝90°，DF＝EF＝3，

∴∠D＝45°，S2＝＝，

S3＝AB·BC·sinB＝×3×3×sin60°＝，

在Rt△DEF中，由勾股定理得DE＝＝3，

∴S4＝DE·DF·sinD＝×3×3×＝，

∴S1＝S3，S2＝S4；

（2）S＝mnsinα，證明如下：

如圖，過點O作OM⊥PQ，垂足為點M，

在Rt△OPM中，∠OMP＝90°，∴OM＝OP·sinP，

∵∠P＝α，OP＝m，∴OM＝msinα，

∴S＝PQ·OM＝mnsinα.