Question

【題目】（教材回顧）課本88頁，有這樣一段文字：人們通過長期觀察發現如果早晨天空中棉絮的高積云，那么午后常有雷雨降臨，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨臨”的諺語．在數學的學習過程中，我們經常用這樣的方法探究規律．

（數學問題）三角形有3個頂點，如果在它的內部再畫n個點，并以這(n+3)個點為頂點畫三角形，那么最多可以剪得多少個這樣的三角形？

（問題探究）為了解決這個問題，我們可以從n=1，n=2，n=3等具體的、簡單的情形入手，探索最多可以剪得的三角形個數的變化規律．

三角形內點的個數	圖形	最多剪出的小三角形個數
1		3
2		5
3		7
…	…	…

（問題解決）

(1) 當三角形內有4個點時，最多剪得的三角形個數為______________；

(2) 你發現的變化規律是：三角形內的點每增加1個，最多剪得的三角形增加______個；

(3) 猜想：當三角形內點的個數為n時，最多可以剪得_______________個三角形；

像這樣通過對簡單情形的觀察、分析，從特殊到一般地探索這類現象的規律、提出猜想的思想方法稱為歸納．

（問題拓展）

（4）請你嘗試用歸納的方法探索1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）的和是多少？

Answer 1

【答案】（1）9；（2）2；（3）2n+1；（4）n2+2n+1．

【解析】

（1）利用表格中數據得出三角形個數的變化可推出n=4時，最多剪得的三角形的個數；

（2）利用（1）中數據得出三角形個數的變化規律即可；

（3）利用（2）中變化規律即可得出當三角形內點的個數為n時，最多可以剪得三角形的個數；

問題拓展：利用補項法求出答案.

（1）∵當三角形內點的個數為1時，最多可以剪得3個三角形；

當三角形內點的個數為2時，最多可以剪得5個三角形；

當三角形內點的個數為3時，最多可以剪得7個三角形；

∴當三角形內點的個數為4時，最多可以剪得9個三角形；

故答案為：9；

（2）由（1）的結果可得出：三角形內的點每增加1個，最多剪得的三角形增加2個；

故答案為：2；

（3）∵1×2+1=3，2×2+1=5，3×2+1=7，

∴當三角形內點的個數為n時，最多可以剪得(2n+1)個三角形；

故答案為：2n+1；

【問題拓展】

1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）

= [1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）][（2n+1）+（2n-1）+…+7+5+3+1]

=（n+1）（1+2n+1）

=（n+1）2

=n2+2n+1．