Question

【題目】若一個四邊形的兩條對角線互相垂直且相等，則稱這個四邊形為“奇妙四邊形”．如圖1，四邊形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，則稱四邊形ABCD為奇妙四邊形．根據“奇妙四邊形”對角線互相垂直的特征可得“奇妙四邊形”的一個重要性質：“奇妙四邊形”的面積等于兩條對角線乘積的一半．根據以上信息回答：

（1）矩形 “奇妙四邊形”（填“是”或“不是”）；

（2）如圖2，已知⊙O的內接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”，若⊙O的半徑為6，∠BCD=60°．求“奇妙四邊形”ABCD的面積；

（3）如圖3，已知⊙O的內接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”作OM⊥BC于M．請猜測OM與AD的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）54.（3）AD=2OM，證明見解析。

【解析】試題分析：（1）根據矩形的性質和“奇妙四邊形”的定義進行判斷；
（2）連結OB、OD，作OH⊥BD于H，如圖2，根據垂徑定理得到BH=DH，根據圓周角定理得到∠BOD=2∠BCD=120°，則利用等腰三角形的性質得∠OBD=30°，在Rt△OBH中可計算出BH=OH=3，BD=2BH=6，則AC=BD=6，然后根據奇妙四邊形”的面積等于兩條對角線乘積的一半求解；
（3）連結OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如圖3，根據垂徑定理得到AE=DE，再利用圓周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE，則可證明△BOM≌△OAE得到OM=AE，于是有OM=AD．

試題解析：（1）矩形的對角線相等但不垂直，
所以矩形不是“奇妙四邊形”；
故答案為不是；
（2）連結OB、OD，作OH⊥BD于H，如圖2，則BH=DH，

∵∠BOD=2∠BCD=2×60°=120°，
∴∠OBD=30°，
在Rt△OBH中，∵∠OBH=30°，
∴OH=OB=3，
∴BH=OH=3，
∵BD=2BH=6，
∴AC=BD=6，
∴“奇妙四邊形”ABCD的面積=×6×6=54；
（3）OM=AD．理由如下：
連結OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如圖3，

∵OE⊥AD，
∴AE=DE，
∵∠BOC=2∠BAC，
而∠BOC=2∠BOM，
∴∠BOM=∠BAC，
同理可得∠AOE=∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠AOE，
在△BOM和△OAE中

∴△BOM≌△OAE，
∴OM=AE，
∴OM=AD．