Question

【題目】我們定義：在一個圖形上畫一條直線，若這條直線既平分該圖形的面積，又平分該圖形的周長，我們稱這條直線為這個圖形的“等分積周線”．

（1）如圖1，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，請你在圖1中用尺規作圖作出△ABC的一條“等分積周線”；

（2）在圖1中，過點C能否畫出一條“等分積周線”？若能，說出確定的方法；若不能，請說明理由．

（3）如圖3，在△ABC中，AB=BC=6cm，AC=8cm，請你不過△ABC的頂點，畫出△ABC的一條“等分積周線”，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；

（2）不能，理由見解析；

（3）作圖見解析，理由見解析.

【解析】（1）作線段AC的中垂線BD即可得出答案；（2）若直線CD平分△ABC的面積，那么S△ADC=S△DBC，得出AC≠BC，進而得出答案；（3）在AC上取一點F，使得FC=AB=6，在BC上取一點E，使得BE=2，作直線EF，則EF是△ABC的等分積周線，結合全等三角形的判定與性質得出答案．

解：

（1）如圖1所示：作線段AC的中垂線BD或∠B的平分線即可；

（2）不能，理由：如圖2，若直線CD平分△ABC的面積，那么S△ADC=S△DBC，

∴AD=BD，

∵AC≠BC，

∴AD+AC≠BD+BC，

∴過點C不能畫出一條“等分積周線”

（3）如圖4，在AC上取一點F，使得FC=AB=6，在BC上取一點E，使得BE=2，

作直線EF，則EF是△ABC的等分積周線，

理由：由作圖可得：AF=AC-FC=8-6=2，在CB上取一點G，使得CG=AF=2，則有AB+AF=CF+CG，

∵AB=BC，

∴∠A=∠C，

在△ABF和△CFG中

∴△ABF≌△CFG（SAS），

∴S△ABF=S△CFG，

又易得BE=EG=2，

∴S△BFE=S△EFG，

∴S△EFC=S四邊形ABEF，

AF+AB+BE=CE+CF=10，

∴EF是△ABC的等分積周線，

若如圖5，當BM=2cm，AN=6cm時，直線MN也是△ABC的等分積周線．（其實是同一條），

另外本問的說理也可以通過作高，進行相關計算說明）．

“點睛”此題主要考查了應用與設計作圖和全等三角形的判定與性質和勾股定理等知識，根據題意正確分割圖形是解題關鍵．