Question

【題目】（1）如圖1，△ABC與△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC，DE分別是底邊，求證：BD＝CE．

（2）拓展探究

如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．

①求∠AEB的度數；

②證明：AE＝BE＋2CM．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①90°；②證明見解析．

【解析】試題分析：（1）根據全等三角形的判定方法，判斷出△BAD≌△CAE，即可判斷出BD=CE．

（2）①首先根據△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，據此判斷出∠ACD=∠BCE；然后根據全等三角形的判定方法，判斷出△ACD≌△BCE，即可判斷出BE=AD，∠BEC=∠ADC，進而判斷出∠AEB的度數為90°即可；

②根據DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，據此判斷出AE=BE+2CM即可．

試題解析：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝40°，

∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中， ，

∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE；

（2）①∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，

∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中， ，

∴△ACD≌△BCE，∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，

∵點A，D，E在同一直線上，

∴∠ADC＝180°－45°＝135°，∴∠BEC＝135°，

∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°；

②∵∠DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE，

∴CM＝DM＝EM，∴DE＝DM＋EM＝2CM，

∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM．