Question

【題目】綜合題。
（1）如圖①，四邊形ABCD是正方形，點G是BC上的任意一點，BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E，探究BF，DE，EF之間的數量關系，第一學習小組合作探究后，得到DE﹣BF=EF，請證明這個結論；
（2）若（1）中的點G在CB的延長線上，其余條件不變，請在圖②中畫出圖形，并直接寫出此時BF，DE，EF之間的數量關系；
（3）如圖③，四邊形ABCD內接于⊙O，AB=AD，E，F是AC上的兩點，且滿足∠AED=∠BFA=∠BCD，試判斷AC，DE，BF之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，結論：DE﹣BF=EF．理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∵BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E，

∴∠AFB=∠DEA=90°，

∵∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，

∴∠BAF=∠ADE，

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE，

∴BF=AE，AF=DE，

∵AF﹣AE=EF，

∴DE﹣BF=EF

（2）解：結論EF=DE+BF．理由如下：

如圖2中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∵BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E，

∴∠AFB=∠DEA=90°，

∵∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，

∴∠BAF=∠ADE，

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE，

∴BF=AE，AF=DE，

∴EF=AF+AF=DE+BF

（3）解：如圖3中，結論：AC=BF+DE．理由如下：

連接BD．

∵∠DBC+∠BDC+∠DCB=180°，∠DAE+∠ADE+∠AED=180°，

又∵∠DBC=∠DAE，∠DCB=∠AED，

∴∠ADE=∠BDC，

∵∠BDC=∠BAF，

∴∠ADE=∠BAF，∵AD=AB，∠AED=∠AFB，

∴△ADE≌△BAF，

∴AE=BF，

∵AD=AB，

∴∠ADB=∠ABD=∠ACD，

∵∠ADE=∠CDB，

∴∠CDE=∠ADB，

∴∠EDC=∠ECD，

∴DE=CE，

∴AC=BF+DE

【解析】（1）如圖1中，結論：DE﹣BF=EF．只要證明△ABF≌△DAE，即可解決問題．（2）結論EF=DE+BF．證明方法類似（1）．（3）如圖3中，結論：AC=BF+DE．只要證明△ADE≌△BAF以及DE=EC即可解決問題．