Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB是直徑，⊙O的切線PC交BA的延長線于點P，OF∥BC交AC于點E，交PC于點F，連接AF；

（1）判斷AF與⊙O的位置關系并說明理由．
（2）若⊙O的半徑為4，AF=3，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：連接OC，如圖所示：

∵AB是⊙O直徑，

∴∠BCA=90°，

∵OF∥BC，

∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，

∴OF⊥AC，

∵OC=OA，

∴∠B=∠1，

∴∠3=∠2，

在△OAF和△OCF中，

，

∴△OAF≌△OCF（SAS），

∴∠OAF=∠OCF，

∵PC是⊙O的切線，

∴∠OCF=90°，

∴∠OAF=90°，

∴FA⊥OA，

∴AF是⊙O的切線；

（2）解：∵⊙O的半徑為4，AF=3，∠OAF=90°，

∴OF= = =5

∵FA⊥OA，OF⊥AC，

∴AC=2AE，△OAF的面積= AFOA= OFAE，

∴3×4=5×AE，

解得：AE= ，

∴AC=2AE= ．

【解析】（1）要證切線可證垂直，由CF是切線須連接OC，得垂直，證出△OAF≌△OCF，得到∠OAF=∠OCF，由切線得∠OCF=90°，進而∠OAF=90度，證出切線;（2）由面積法先求出AE，進一步求出AC.