Question

已知直線y=2x+6與x軸、y軸的交點分別為A、B，又P、Q兩點的坐標分別為P（-2，0）、Q（0，k），其中k＜6．再以Q點為圓心，PQ長為半徑作圓，則：
（1）當k取何值時，⊙Q與直線相切？
（2）說出k在什么范圍內取值時，⊙Q與直線AB相離？相交？（只須寫出結果，不必寫解答過程）

Answer 1

分析：（1）求出A、B的坐標，過Q所作QD⊥AB垂足為D，證Rt△QDB∽Rt△AOB，求出QD，根據QD=PQ，即可求出k的值；
（2）根據（1）的結論和⊙Q與直線AB相離、相交的特點即可求出答案．

解答：解：（1）把x=0代入y=2x+6得：y=6，
把y=0代入y=2x+6得：x=-3，
∴A（-3，O），B（0，6），
如圖，過Q所作QD⊥AB垂足為D
由勾股定理得：AB=3

5

，
∵∠ABO=∠ABO，∠AOB=∠QDB=90°，
∴Rt△QDB∽Rt△AOB，AO=3，QB=6-k，AB=3

5

，
∴QD=

6-k

5

．
又QP=

k2+4

，
∴

6-k

5

=

k2+4

，
解得：k=-4或k=1，
故當k=-4或k=1時，⊙Q與直線AB相切；

（2）當-4＜k＜1時，⊙Q與直線AB相離；
當k＜-4或1＜k＜6時，⊙Q與直線AB相交．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，直線與圓的位置關系的應用，關鍵是求出k為何值時直線與圓相切，注意：當直線與圓相切時，d=r，當直線與圓相離時，d＞r，當直線與圓相交時，d＜r．