Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，以點A（0，-3）為圓心，5為半徑作圓A，交x軸于B，C兩點，交y軸于點D，E兩點．
（1）求點B，C，D的坐標；
（2）如果一個二次函數圖象經過B，C，D三點，求這個二次函數解析式；
（3）P為x軸正半軸上的一點，過點P作與圓A相離并且與x軸垂直的直線，交上述二次函數圖象于點F，當△CPF中一個內角的正切之為時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：由題意可知AC=5，OA=3，根據勾股定理可知，OC=4，可知C點坐標，同理求出B點坐標，OA=3，AD=5，求出OD=2，求出D點坐標．
（1）∵點A的坐標為（0，-3），線段AD=5，∴點D的坐標（0，2）．
連接AC，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，∴OC=4．
∴點C的坐標為（4，0）；
同理可得點B坐標為（-4，0）．

（2）已知B，C，D三點坐標，設出解析式，代入即可求出函數解析式．
設所求二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，
由于該二次函數的圖象經過B，C，D三點，則
解得
∴所求的二次函數的解析式為y=-x²+2；

（3）根據圖象可知，正切為，則∠cpf為直角，設出P點坐標，然后表示出CP，PF的長度，然后分情況討論=還是，或是兩者都可，求出P點坐標．
設點P坐標為（t，0），由題意得t＞5，
且點F的坐標為（t，-t²+2），PC=t-4，PF=t²-2，
∵∠CPF=90°，∴當△CPF中一個內角的正切值為時，
①若時，即，解得t₁=12，t₂=4（舍）；
②當時，解得t₁=0（舍），t₂=4（舍），
所以所求點P的坐標為（12，0）．
解答：解：（1）∵點A的坐標為（0，-3），線段AD=5，
∴點D的坐標（0，2）．（1分）
連接AC，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，
∴OC=4．（1分）
∴點C的坐標為（4，0）；（1分）
同理可得點B坐標為（-4，0）．（1分）

（2）設所求二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，
由于該二次函數的圖象經過B，C，D三點，則（3分）
解得
∴所求的二次函數的解析式為y=-x²+2；（1分）

（3）設點P坐標為（t，0），由題意得t＞5，（1分）
且點F的坐標為（t，-t²+2），PC=t-4，PF=t²-2，
∵∠CPF=90°，
∴當△CPF中一個內角的正切值為時，
①若時，即，解得t₁=12，t₂=4（舍）；（1分）
②當時，解得t₁=0（舍），t₂=4（舍），（1分）
所以所求點P的坐標為（12，0）．（1分）
點評：本題旨在考查圓在坐標中出現的問題，圓與拋物線交點問題，以及三角形中正切的概念．