Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-6，0）、B（2，0），與y軸交于點C（0，-6）．
（1）求此拋物線的函數表達式，寫出它的對稱軸；
（2）若在拋物線的對稱軸上存在一點M，使△MBC的周長最小，求點M的坐標；
（3）若點P（0，k）為線段OC上的一個不與端點重合的動點，過點P作PD∥CM交x于點D，連接MD、MP，設△MPD的面積為S，求當點P運動到何處時S的值最大？

Answer 1

（1）拋物線與y軸交于點C（0，-6），
∴c=-6；
而拋物線過點A（-6，0）、B（2，0），
∴

36a-6b-6=0 4a+2b-6=0

；
解得a=

1

2

，b=2，
即此拋物線的函數表達式為y=

1

2

x2+2x-6；
它的對稱軸為直線x=-2；

（2）∵A、B關于對稱軸直線x=-2對稱，M在對稱軸上，
∴AM=BM；
所以當點A，M，C共線時，△MBC的周長最小；
直線AC的解析式是：y=-x-6，
令x=-2，得y=-4，
即點M的坐標為（-2，-4）；

（3）點P（0，k）為線段OC上的一個不與端點重合的動點，
∴-6＜k＜0；
∵PD∥CM，
∴∠ODP=∠OAC，∠OPD=∠OCA，
∴△ODP∽△OAC，
∴

OD

OA

=

OP

OC

，
而OA=OC，
∴OD=OP，即D（k，0）；
∴△MPD的面積S=S_△AOC-S_△AMD-S_△MCP-S_△POD；
即S=

1

2

×6×6-

1

2

×(6+k)×4-

1

2

×(6+k)×2-

1

2

×|k|2=-

1

2

k2-3k；
當k=-3時，S的值最大，最大值為

9

2

．