Question

如圖1，直線L：y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，經過B、C兩點的拋物線G：y=ax²+bx+c與x軸的另一交點為A，頂點為P，且對稱軸是直線x=2．
（1）該拋物線G的解析式為______；
（2）將直線L沿y軸向下平移______個單位長度，能使它與拋物線G只有一個公共點；
（3）若點E在拋物線G的對稱軸上，點F在該拋物線上，且以點A、B、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，求點E與點F坐標并直接寫出平行四邊形的周長．
（4）連接AC，得△ABC．若點Q在x軸上，且以點P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似，求點Q的坐標．

Answer 1

（1）當x=0時，y=3，
當y=0時，-x+3=0，解得x=3，
∴點B、C的坐標為B（3，0），C（0，3），
又∵拋物線過x軸上的A，B兩點，且對稱軸為x=2，
根據拋物線的對稱性，
∴點A的坐標為（1，0），
∴

a+b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=1 b=-4 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3；

（2）設平移后的直線解析式為y=-x+b，
則

y=-x+b y=x2-4x+3

，
∴x²-3x+3-b=0，
∵它與拋物線G只有一個公共點，
∴△=b²-4ac=（-3）²-4×1×（3-b）=9-12+4b=0，
解得b=

3

4

，
3-

3

4

=

9

4

，
∴向下平移了

9

4

個單位；

（3）∵A（1，0），B（3，0），
∴AB=3-1=2，
①當AB是邊時，∵點E在對稱軸上，平行四邊形的對邊平行且相等，
∴EF=AB=2，
∴點F的橫坐標為0或4，
當橫坐標為0時，y=0²-4×0+3=3，
當橫坐標為4時，y=4²-4×4+3=3，
∴點F的坐標為F₁（0，3）或F₂（4，3），
此時點E的坐標為E₁（2，3），
此時AE=

12+32

=

10

，
∴平行四邊形的周長為：2（AB+AE）=2（2+

10

）=4+2

10

；
②當AB邊為對角線時，EF與AB互相垂直平分，
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴此時點E、F的坐標為E₂（2，1），F₃（2，-1），
∴AE=

12+12

=

2

，
AF=

12+12

=

2

，
∴平行四邊形的周長為：2（AE+AF）=2（

2

+

2

）=4

2

，
綜上所述，點E、F的坐標分別為E₁（2，3），F₁（0，3）或F₂（4，3），此時平行四邊形的周長為4+2

10

，
或E₂（2，1），F₃（2，-1），此時平行四邊形的周長為4

2

；

（4）連接PB，由y=x²-4x+3=（x-2）²-1，得P（2，-1），
設拋物線的對稱軸交x軸于點M，
∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，
∴∠PBM=45°，PB=

2

．
由點B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，
由勾股定理，得BC=3

2

．
假設在x軸上存在點Q，使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似．
①PB與AB是對應邊時，∵∠PBQ=∠ABC=45°，
∴

BQ

BC

=

PB

AB

，
即

BQ

3 2

=

2

2

，
解得BQ=3，
又∵BO=3，
∴點Q與點O重合，
∴Q₁的坐標是（0，0），
②PB與BC是對應邊時，∵∠PBQ=∠ABC=45°，
∴

QB

AB

=

PB

BC

，
即

QB

2

=

2

3 2

，
解得QB=

2

3

，
∵OB=3，
∴OQ=OB-QB=3-

2

3

=

7

3

，
∴Q₂的坐標是（

7

3

，0），
③∵∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，
∴∠PBx≠∠BAC．
∴點Q不可能在B點右側的x軸上
綜上所述，在x軸上存在兩點Q₁（0，0），Q₂（

7

3

，0），能使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似．