Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，點A在y軸上坐標為（0，3），點B在x軸上坐標為（10，0），BC⊥x軸，直線AC交x軸于M，tan∠ACB=2．
（1）求直線AC的解析式；
（2）點P在線段OB上，設OP=x，△APC的面積為S．請寫出S關于x的函數關系式及自變量x的取值范圍；
（3）探索：在線段OB上是否存在一點P，使得△APC是直角三角形？若存在，求出x的值，若不存在，請說明理由；
（4）當x=4時，設頂點為P的拋物線與y軸交于D，且△PAD是等腰三角形，求該拋物線的解析式．（直接寫出結果）

Answer 1

（1）∵OA∥BC，
∴∠OAM=∠ACB，
∵tan∠ACB=2，
∴tan∠OAM=2，
∴OM=2OA=6，
∴BM=OM+OB=6+10=16．
∴BC=0.5BM=8，
∴C（10，8）．
設直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（0，3），C（10，8）兩點的坐標代入，
得b=3，10k+b=8，
∴k=0.5．
∴直線AC的解析式為y=0.5x+3；

（2）∵△APC的面積=△MPC的面積-△PAM的面積=

1

2

（x+6）×8-

1

2

（x+6）×3=2.5x+15，
∴S=2.5x+15．
∵點P在線段OB上，
∴0≤x≤10；

（3）假設在線段OB上存在一點P，使得△APC是直角三角形．
由于∠ACP≤∠ACB＜90°，那么有兩種情況：①∠PAC=90°；②∠APC=90°．
①如果∠PAC=90°，由勾股定理，可知AP²+AC²=PC²，
∴OP²+OA²+OB²+（BC-OA）²=PB²+BC²，
∴x²+3²+10²+（8-3）²=（10-x）²+8²，
解得x=1.5；
②如果∠APC=90°，
在△AOP與△PBC中，∵∠AOP=∠PBC=90°，∠OAP=∠BPC=90°-∠OPA，
∴△AOP∽△PBC，
∴OA：BP=OP：BC，
∴3：（10-x）=x：8，
解得x=4或6．
綜上，可知x=1.5或4或6；

（4）根據題意得：P（4，0）；
若PA=AD，則D（0，8）或（0，-2），
則此時拋物線為：y=

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16

（x-4）²或y=-

1

16

（x-4）²；
若PA=PD，則點D（0，-3），
則此時拋物線為：y=-

3

16

（x-4）²；
若AD=PD，則（0，-

7

6

），
此時拋物線為：y=-

7

96

（x-4）²．
故拋物線為：y=

7

16

（x-4）²或y=-

1

16

（x-4）²，y=-

3

16

（x-4）²，y=-

7

96

（x-4）²．