Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，經過點A、C、B的拋物線的一部分與經過點A、E、B的拋物線的一部分組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“雙拋物線”．已知P為AB的中點，且P(－1，0)，C(－1，1)，E(0，－3)，S_△CPA＝1．

(1)試求“雙拋物線”中經過點A、E、B的拋物線的解析式；

(2)若點F在“雙拋物線”上，且S_△FAP＝S_△CAP，請你直接寫出點F的坐標；

(3)如果一條直線與“雙拋物線”只有一個交點，那么這條直線叫做“雙拋物線”的切線．若過點E與x軸平行的直線與“雙拋物線”交于點G，求經過點G的“雙拋物線”的切線的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)過點C作CD⊥AB于點D． 　　因為C(－1，1)， 　　所以CD＝1． 　　又S△CPA＝AP·CD＝1， 　　所以AP＝2． 　　因為P(－1，0)， 　　所以A(－3，0)，B(1，0)． 　　設經過點A、E、B拋物線的解析式為y＝a(x＋3)(x－1)，則－3＝a(0＋3)(0－1)． 　　解得a＝1． 　　故“雙拋物線中”經過點A、E、B拋物線的解析式為y＝x2＋2x－3(－3≤x≤1)． 　　(2)在“雙拋物線”上，使得S△FAP＝S△CAP的點F的坐標為： 　　F1(－－1，1)，F2(－1＋，－1)，F3(－1－，－1)． 　　(3)因為過點E與x軸平行的直線與“雙拋物線”交于點G， 　　所以G(x，－3)． 　　因為點G在拋物線上， 　　所以x2＋2x－3＝－3． 　　解得x1＝0，x2＝－2． 　　所以G(－2，－3)． 　　設經過點G的“雙拋物線”的切線的解析式為y＝kx＋b，則－3＝－2k＋b． 　　b＝2k－3． 　　所以y＝kx＋2k－3． 　　因為G點在拋物線上，且在切線上， 　　所以x2＋2x－3＝kx＋2k－3． 　　x2＋(2－k)x－2k＝0． 　　因為經過點G的“雙拋物線”的切線與“雙拋物線”只有一個交點， 　　所以Δ＝b2－4ac＝(2－k)2＋8k＝(2＋k)2＝0． 　　解得k＝－2．故b＝－7． 　　所以經過點G的“雙拋物線”的切線的解析式為 　　y＝－2x－7．