Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中點，將△BEC繞點B逆時針旋轉90°后，點E落在CB的延長線上點F處，點C落在點A處．再將線段AF繞點F順時針旋轉90°得線段FG，連接EF，CG．
（1）求證：EF∥CG；
（2）求點C，點A在旋轉過程中形成的 ， 與線段CG所圍成的陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，

∵△BEC繞點B逆時針旋轉90°得到△ABF，

∴△ABF≌△CBE，

∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=CE，

∴∠AFB+∠FAB=90°，

∵線段AF繞點F順時針旋轉90°得線段FG，

∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，

∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，

∴EC∥FG，

∵AF=CE，AF=FG，

∴EC=FG，

∴四邊形EFGC是平行四邊形，

∴EF∥CG

（2）解：∵AD=2，E是AB的中點，

∴BF=BE= AB= ×2=1，

∴AF= = = ，

由平行四邊形的性質，△FEC≌△CGF，

∴S△FEC=S△CGF，

∴S陰影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG，

= + ×2×1+ ×（1+2）×1﹣ ，

= ﹣ ．

【解析】（1）根據正方形的性質可得AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，再根據旋轉變化只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得△ABF和△CBE全等，根據全等三角形對應角相等可得∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，全等三角形對應邊相等可得AF=EC，然后求出∠AFB+∠FAB=90°，再求出∠CFG=∠FAB=∠ECB，根據內錯角相等，兩直線平行可得EC∥FG，再根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形EFGC是平行四邊形，然后根據平行四邊形的對邊平行證明；（2）求出FE、BE的長，再利用勾股定理列式求出AF的長，根據平行四邊形的性質可得△FEC和△CGF全等，從而得到S△FEC=S△CGF ， 再根據S陰影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG列式計算即可得解．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和正方形的性質的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．