Question

如圖所示，已知矩形ABCD中兩條對角線AC、BD相交于點O，∠ADB=30°，DF∥AC交BC的延長線于F點，
（1）判定△AOB的形狀，并說明理由．
（3）求證：BC=CF．

Answer 1

分析：（1）根據矩形性質得出OA=OC=

1

2

AC，OB=OD=

1

2

BD，AC=BD，∠BAD=90°，求出OA=OB，∠ABO=60°，根據等邊三角形的判定推出即可；
（2）根據矩形性質得出AD∥CF，AD=BC，得出平行四邊形ACFD，推出AD=CF，即可得出答案．

解答：（1）解：△AOB是等邊三角形，
理由是：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC=

1

2

AC，OB=OD=

1

2

BD，AC=BD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，∠ABO=90°-30°=60°，
∴△AOB是等邊三角形；

（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DF∥AC，
∴四邊形ACFD是平行四邊形，
∴AD=CF，
∴BC=CF．

點評：本題考查了矩形的性質，平行四邊形的性質和判定，等邊三角形的性質和判定等知識點，注意：矩形的對角線相等，平行四邊形的對邊相等，有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．